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摘要在人类社会发展中，传染病时刻威胁着人类的生命安全.全球人口跨国、跨地区的频繁流动进一步加快了传染病的传播，给传染病的防控带来了新的挑战.根据传染病的传播特征建立微分模型描述个体的扩散行为，通过数学方法分析模型的动力学性质，研究传染病的传播规律，预测其发展趋势，设计有效的控制策略，在理论分析和实际应用等方面具有重要的研究价值.<br>　　经典传染病模型考虑了个体的局部扩散行为，但忽略了个体的非局部扩散对传染病传播的影响.同时，由于传染病的类型、传播区域、感染个体等因素，传染病在不同个体之间的传播规律存在差异.因此，为了体现不同因素下传染病的传播规律以及展现个体扩散行为的影响，本文基于随机游走建立一系列分数阶反常扩散传染病模型，探究分数阶导数在传染病建模中的意义，讨论传染病持久传播的条件，设计高效的干预策略控制传染病的传播.本文的研究可丰富非局部传染病动力学的建模方法与理论分析，为传染病的预测和干预提供理论指导.具体工作如下:<br>　　1.基于连续时间随机游走，首次建立连续广义分数阶反常扩散传染病模型，并分析模型的动力学行为.首先以传染病的传播特征为基础，建立感染个体的积分方程，通过连续时间随机游走，得到广义时空分数阶传染病模型，其中现有的许多传染病模型为该模型的特殊形式.模型表明分数阶导数在描述重尾效应、长潜伏性、长感染性、历史依赖性的传染病动力学方面具有独特的优势.进一步基于传染病在不同种群中传播方式的差异，建立分数阶反常扩散多种群传染病模型，分析传染病消亡和持久传播的条件，数值仿真验证理论结果的正确性，为传染病在异质多种群中的传播提供理论指导.<br>　　2.基于传染病在不同传播阶段住院个体数量的变化规律，建立分数阶多仓室传染病模型，分析模型的动力学行为，并设计有效的干预措施控制传染病的传播.首先以连续时间随机游走的建模思路为基础，分别建立带有城际网络、个体移动、幂律尾分布的三类分数阶多仓室传染病模型，解决核算子积分有界的局限性问题，得到分数阶阶数和基本再生数之间的关系.进一步分析三类传染病模型的解的非负性、无病平衡点和地方病平衡点的存在性以及全局渐近稳定性，设计基于住院个体数量的自适应脉冲疫苗接种策略，为传染病在复杂网络上的传播提供建模方法和理论分析.最后基于新型冠状病毒(COVID-19)在中国和国外传播的单峰和多峰值真实数据，验证理论结果的有效性，得到最优疫苗接种比例.理论结果表明限制城市之间的交流可以减缓疫情在相对缓和地区的传播，潜伏期个体的移动、核酸检测强度、外来个体的流入是影响COVID-19传播的关键因素，COVID-19传播过程中的长潜伏性给疫情防控增加了困难.<br>　　3.基于离散时间随机游走，首次建立离散广义分数阶反常扩散传染病模型，并分析模型的动力学行为.首先以离散现象为基础，建立粒子扩散的概率通量方程，通过离散时间随机游走，得到离散广义分数阶反常扩散模型，其中现有的许多离散模型为该模型的特殊形式.理论结果表明离散分数阶导数在描述粒子的长距离扩散、长等待行为、长记忆行为等方面具有独特的优势，为离散传染病模型的建立提供思路.另外，当上述广义模型为连续模型的离散化模型时，分析相应的连续模型，为连续模型提供新的数值方法.为进一步完善离散分数阶模型动力学分析的定性理论以及探究离散模型对相应连续模型性质的保持，研究离散广义分数阶微分方程的稳定性问题，给出李雅普诺夫方法.最后将离散随机游走的建模思路与传染病的传播相结合，建立带有时间延迟的离散分数阶反常扩散传染病模型，分析传染病消亡和持久传播的条件，探究离散分数阶导数的鲁棒性，数值仿真验证理论结果的有效性，为传染病的非局部传播行为提供建模方法和理论分析.